La physique d’une élection — comment fonctionne VoteScope Labs

1 · Le point de départ

Lancer les dés 50 000 fois

La plupart des projections électorales, dont notre projection de référence, fonctionnent comme un casino. On imagine l’élection des dizaines de milliers de fois, en tirant au hasard les erreurs possibles des sondages, puis on compte : dans combien de ces univers tel parti gagne-t-il?

C’est simple, robuste et remarquablement efficace. Mais c’est une approximation : même avec 50 000 tirages, il reste du bruit. Et surtout, la méthode ne dit rien de la forme de l’opinion elle-même. Orbite pose une autre question : et si l’on pouvait calculer directement, au lieu de tirer au sort?

2 · La forme de l’opinion

Un électorat est un point sur une sphère

Prenez des intentions de vote : 40 % pour un parti, 35 % pour un autre, 25 % pour le reste. Ces trois nombres font toujours 100 %. On pourrait les dessiner comme un point dans un triangle. Orbite fait une chose étrange : il prend la racine carrée de chaque part. Soudain, le triangle devient un morceau de sphère, comme une pelure d’orange.

Pourquoi? Parce que sur cette sphère, l’incertitude d’un sondage a la même taille dans toutes les directions. Sur un triangle ordinaire, un parti à 3 % et un parti à 40 % ne « tremblent » pas de la même façon d’un sondage à l’autre. Sur la sphère, si. Un seul réglage décrit donc l’erreur de tous les partis, petits et grands.

Autre conséquence : bouger de 2 points n’a pas la même signification partout. Passer de 2 % à 4 %, c’est doubler; passer de 40 % à 42 %, c’est un détail. La sphère le sait d’instinct : la distance entre deux électorats y mesure à quel point on pourrait les distinguer avec des sondages.

Deux partis : les parts de vote vivent sur la droite; leurs racines carrées vivent sur un quart de cercle. Près des bords (un parti presque absent), un petit pas sur le cercle correspond à très peu de points de vote.

3 · La courbure

Transporter une flèche sur un monde courbe

Une expérience de pensée. Debout sur l’équateur, vous tenez une flèche qui pointe vers le nord. Vous marchez vers le pôle Nord sans jamais tourner la flèche, puis vous redescendez le long d’un autre méridien, et vous revenez à votre point de départ par l’équateur. Surprise : votre flèche a tourné, alors que vous ne l’avez jamais tournée. C’est la signature de la courbure.

Orbite a le même problème. Le mouvement provincial des sondages est une flèche : tel parti monte, tel autre recule. Pour savoir ce que ce mouvement veut dire dans une circonscription précise, il faut transporter la flèche jusqu’à elle, sur la sphère, sans la déformer. On appelle ça le transport parallèle.

Le résultat n’est ni un swing uniforme (les mêmes points partout), ni un swing proportionnel : c’est la géométrie qui décide. Un parti fort gagne ou perd plus de points là où il est fort; un nouveau parti peut apparaître là où il n’existait pas.

Une flèche transportée sans jamais tourner le long d’un triangle tracé sur une sphère revient tournée : c’est la courbure. Orbite transporte de la même façon le mouvement provincial jusqu’à chaque circonscription.

4 · Suivre l’opinion au jour le jour

Naviguer comme Apollo

Les sondages arrivent un à un, chacun avec sa marge d’erreur et les habitudes de son sondeur. Pour en tirer la position la plus probable de l’électorat, Orbite utilise un filtre de Kalman, adapté à la sphère : à chaque nouveau sondage, il corrige sa position estimée, en tenant compte de la fiabilité de la mesure et du temps écoulé.

Il retire aussi le biais propre à chaque sondeur, et il ne laisse pas un sondeur qui publie tous les jours dicter la moyenne à lui seul. Les réglages ne sont pas choisis à la main : on les estime sur les sondages eux-mêmes. Une leçon est tombée : l’opinion n’a pas d’élan. Une tendance d’une semaine ne se prolonge pas d’elle-même.

5 · Les sondages comme des mesures

La règle de Born

En physique quantique, un système est décrit par des « amplitudes », et la probabilité d’un résultat est le carré de son amplitude. C’est la règle de Born. Les racines carrées de la sphère de la section 2 sont exactement ça : des amplitudes dont le carré redonne les parts de vote.

Orbite traite donc chaque sondage comme une mesure d’un état de l’électorat. En regroupant tous les sondages, on obtient ce que les physiciens appellent une matrice de densité. Si tous les sondeurs disaient la même chose, elle serait « pure ». Plus ils se contredisent, plus elle est mélangée, et l’entropie de von Neumann mesure ce désaccord.

Et le soir du vote, l’électorat « s’effondre » sur un résultat. Sur neuf élections canadiennes depuis 2015, le parti qui menait dans les sondages a toujours fait mieux le soir même, et les petits partis moins bien. Orbite l’intègre avec un seul nombre, estimé sur les seules élections passées : au moment de la mesure, les parts se concentrent légèrement vers les partis dominants.

6 · Compter les sièges

Des qubits au lieu des dés

Chaque circonscription devient un petit registre, comme un qubit : ses amplitudes donnent les chances de chaque parti d’y gagner. L’ensemble de la province est l’assemblage de tous ces registres, et le nombre de sièges d’un parti se lit sur un compteur relié à chacun d’eux.

Un ordinateur quantique « mesurerait » ce compteur pour obtenir la distribution des sièges. Nous n’en avons pas besoin : la structure du problème permet de faire exactement le même calcul sur un ordinateur ordinaire, circonscription par circonscription. Nous l’avons vérifié : un vrai circuit quantique, simulé avec la bibliothèque qiskit d’IBM, donne la même distribution au milliardième près.

Résultat : aucune part de hasard dans le décompte des sièges, et un calcul complet en quelques secondes. Seuls les grands chocs communs, comme une erreur nationale de tous les sondeurs, sont parcourus sur une grille régulière plutôt que tirés au hasard.

Chaque circonscription est un registre dont les amplitudes donnent les chances de chaque camp. Le compteur de sièges s’obtient exactement, sans un seul tirage au sort.

7 · La carte

Des poupées russes géographiques

Les sondeurs publient souvent des résultats par région, mais chacun à sa façon : le « Montréal » de l’un est la région métropolitaine, celui d’un autre inclut toute la banlieue, un troisième publie l’île seule. Orbite découpe le Québec en treize morceaux élémentaires (l’île, Laval, les couronnes, la région de Québec…) et reconstitue chaque région de sondeur comme un assemblage de ces morceaux.

Les morceaux s’emboîtent comme des poupées russes : chacun appartient à un bloc, chaque bloc à une grande zone. Quand un morceau est peu mesuré, il emprunte l’information de son bloc et de sa zone. Et chaque sondage est comparé à lui-même : ce qu’il dit d’une région, contre ce que sa propre moyenne provinciale laissait prévoir. Ses habitudes de sondeur s’annulent; il ne reste que la géographie.

Ce que ce n’est pas

Les électeurs ne sont pas des particules quantiques, et une élection n’a rien à voir avec la gravité. Orbite emprunte des mathématiques, pas des lois de la nature : il se trouve que les outils inventés pour l’espace courbe et le monde quantique sont aussi les outils naturels des probabilités.

Orbite n’est pas encore meilleur que notre projection de référence : rejouées la veille du vote, les élections passées donnent des écarts comparables, parfois en faveur de l’un, parfois de l’autre. C’est justement pour ça qu’il tourne à côté, chaque nuit, avec les mêmes sondages. Quand les deux moteurs s’accordent, le signal est solide. Quand ils divergent, c’est là qu’il faut regarder.

Voir ce qu’Orbite projette →